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发布时间:2019-07-21 10:54 来源:未知 编辑:admin

  中文名称:概率 英文名称:probability 定义:表征随机事件发生可能性大小的量,是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性。

  随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试,某件事发生的可能性是多少,这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n,不是指n次事件里必有一次发生该事件,而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。

  概率的严格定义 设E是随机试验,S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数,P(·)要满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A,有P(A)≥0; (2)规范性:对于必然事件S,有P(S)=1; (3)可列可加性:设A1,A2……是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj=φ,(i,j=1,2……),则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……

  概率的古典定义 如果一个试验满足两条: (1)试验只有有限个基本结果; (2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。 这样的试验,成为古典试验。 对于古典试验中的事件A,它的概率定义为: P(A)=m/n,n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。 ■概率的统计定义 在一定条件下,重复做n次试验,nA为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。 在历史上,第一个对“当试验次数n逐渐增大,频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利(Jocob Bernoulli,公元1654年~1705年)。 从概率的统计定义可以看到,数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。 由于频率nA/n总是介于0和1之间,从概率的统计定义可知,对任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(Ω)=1,P(Φ)=0。 Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)。

  ■古典概率相关 古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形,即基本空间由有限个元素或基本事件组成,其个数记为n,每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件,则定义事件A发生的概率为p(A)=m/n,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数,这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义,或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率,可以用穷举法列出所有基本事件,再数清一个事件所含的基本事件个数相除,即借助组合计算可以简化计算过程。 ■几何概率相关 集合概率若随机试验中的基本事件有无穷多个,且每个基本事件发生是等可能的,这时就不能使用古典概率,于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应,利用几何区域的度量来计算事件发生的概率,布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。 在概率论发展的早期,人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的,还必须考虑试验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示,其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质,关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的,其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。如一维空间的长度,二维空间的面积,三维空间的体积等。并且假定这种度量具有如长度一样的各种性质,如度量的非负性、可加性等。 ◆几何概率的严格定义 设某一事件A(也是S中的某一区域),S包含A,它的量度大小为μ(A),若以P(A)表示事件A发生的概率,考虑到“均匀分布”性,事件A发生的概率取为:P(A)=μ(A)/μ(S),这样计算的概率称为几何概率。 ◆若Φ是不可能事件,即Φ为Ω中的空的区域,其量度大小为0,故其概率P(Φ)=0。

  假如一串试验具备下列三条: (1)每一次试验只有两个结果,一个记为“成功”,一个记为“失败”,P{成功}=p,P{失败}=1-p=q; (2)成功的概率p在每次试验中保持不变; (3)试验与试验之间是相互独立的。 则这一串试验称为独立试验序列,也称为bernoulli概型。

  在一个特定的随机试验中,称每一可能出现的结果为一个基本事件,全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件(简称事件)是由某些基本事件组成的,例如,在连续掷两次骰子的随机试验中,用Z,Y分别表示第一次和第二次出现的点数,Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6,每一点(Z,Y)表示一个基本事件,因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件,它是由一个基本事件(1,1)组成,可用集合{(1,1)}表示“点数之和为4”也是一事件,它由(1,3),(2,2),(3,1)3个基本事件组成,可用集合{(1,3),(3,1),(2,2)}表示。如果把“点数之和为1”也看成事件,则它是一个不包含任何基本事件的事件,称为不可能事件。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件,它包含所有基本事件 ,在试验中此事件一定发生,所以称为必然事件。若A是一事件,则“事件A不发生”也是一个事件,称为事件A的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究。 【随机事件,基本事件,等可能事件,互斥事件,对立事件】 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。 一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个,即此实验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么这种事件就叫做等可能事件。 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

  对事件发生可能性大小的量化引入“概率”. “统计规律性” 独立重复试验总次数n,事件A发生的频数μ, 事件A发生的频率Fn(A)=μ/n,A的频率Fn(A)有没有稳定值? 如前人做过的掷硬币的试验(P.44下面表); 如果有就称频率μn的稳定值p为事件A发生的概率记作P(A)=p〔概率的统计定义〕 P(A)是客观的,而Fn(A)是依赖经验的。 统计中有时也用n很大的时候的Fn(A)值当概率的近似值。

  如事件A与B不相容,A+B发生的时候,A与B两者之中必定而且只能发生其中之一。独立重复地做n次实验,如记事件A发生的频数为μA、频率为Fn(A) ,记事件B发生的频数为μB 、频率为Fn(B) ,事件A+B发生的频数为 μA+B 、频率为 Fn(A+B) ,易知:μA+B =μA +μB,∴ Fn(A+B) = Fn(A) + Fn(B) ,它们的稳定值也应有: P(A+B)=P(A)+P(B)[加法法则]如事件A与B不相容,即如果AB=φ,则 P(A+B)=P(A)+P(B)即:两个互斥事件的和的概率等于它们的概率之和。 请想一下:如A与B不是不相容,即相容的时候呢?进一步的研究得: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)这被人称为:“多退少补”!

  凭我考研人的角度来看,概率首先是三大公式(条件概率公式。贝叶斯公式。全概率公式)八大分布,两大概型,其次是密度函数和分布函数,再者就是大数定律和中心极限定理,最后就是统计,最主要是三大分布和统计公式和点分布,祝你学的顺利,谢谢采纳

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