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频率中列表法和树状图法的用法

发布时间:2019-07-09 14:40 来源:未知 编辑:admin

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  1、经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。

  2、通过试验等活动,理解事件发生的频率与概率之间的关系,加深学生对概率的理解,进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。

  3、能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率,能用试验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

  4、结合具体情境,初步感受统计推断的合理性,进一步体会概率与统计之间的关系。

  在自然界和人类社会中,严格确定的现象十分有限,不确定现象(又称随机现象,即在相同的条件下重复同样的试验,其试验结果却不确定,以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现)却是大量存在的,而概率正是对随机现象的一种数学的描述,它能够帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出决策。

  学生在七年级已经认识了许多随机事件,研究了一些简单的随机事件发生的可能性(概率), 并对一些现象作出了合理的解释,对一些游戏活动的公平性作出了自己的评判。但学生对随机事件及其发生的概率的认识是一个较长的认知过程,学生对概率的理解也有必要随着其数学活动经验的不断加深而逐步得到发展。比如说,经过以前的学习,学生切实感受到了概率的作用,但也可能根据以往的学习经验误认为可以理论地计算任何随机事件发生的概率,并据此对一些现象作出解释和评判。实际上,并非任何随机事件发生的概率都能理论地计算。我们知道,概率计算有理论计算和试验估算两种方式,根据获得概率的方式,义务教育阶段学生可以掌握的有关概率模型大致分为三类:第一类问题没有理论概率,只能借助试验模拟获得其估计值,一般而言,它是一个纯粹的现实问题;第二类问题虽然存在理论概率,但其理论计算已经超出了义务教育阶段学生的认知水平,学生只能借助试验模拟获得其估计值;第三类问题则是简单的古典概型,理论上容易求出其概率。

  对于第三类问题,其繁简程度又有所不同,如①随意掷一枚均匀的骰子,朝上点数为6的概率;②掷一枚均匀的骰子,点数为奇数的概率;③连续掷两次均匀的骰子,两次骰子的点数和为6的概率,等等。通过以前的学习,学生已经掌握了类似于①②的问题的解决方法;而对于问题③,学生尚未接触,本章将介绍计算其概率的两种方法——树状图和列表法。本章同时还将研究上述第一、二两类问题,用试验的方法估计随机事件发生的概率。为此,教科书首先以涉及两步试验的事件发生的概率问题为切入点,一方面加强前后知识的联系,另一方面通过试验活动探索试验结果与理论概率之间的辩证关系,进一步加深学生对概率的理解,并借此引导学生用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

  具体来说,第1节通过一个课堂试验活动,让学生逐步计算一个随机事件发生的试验频率,观察其中的规律性,并利用类比的方法归纳出试验频率趋近于理论概率这一规律性,然后介绍两种计算理论概率的方法——树状图和列表法;在此基础上,第2,3节利用试验频率来估计一些复杂事件发生的概率;最后,第4节利用试验频率与理论概率之间关系的分析,揭示统计推断的一些理论依据,力图加强概率与统计的联系。

  在概率模型的选择上,教科书注意了模型的递进性、现实性和趣味性,以激发学生的学习兴趣。例如,对于试验估算概率的有关问题,力图联系学生的生活实际,同时又注意了问题的趣味性和可操作性,为此选择了一个历史上著名的投针试验和一个密切联系学生生活的生日问题。

  1、注重学生的合作和交流活动,在活动中促进知识的学习,并进一步发展学生合作交流的意识和能力。

  随着现代社会的迅猛发展,单个个体在社会中的作用已经显得越发渺小,更多的事务要求人们的合作与交流。因此培养学生合作交流的意识和能力已经成为现代教学活动的重要目标之一。本部分内容的学习为此提供了一个较好的机会。本章中,试验频率稳定于理论概率,必须借助于大量重复试验。而课堂教学时间是有限的,在有限的时间内,一个学生完成的试验次数自然不会很多,而且易于理解为静态的,难以得出试验频率稳定于理论概率这一结论,所以必须综合多个学生甚至全班学生的试验数据。在用试验估计随机事件发生的概率时,也是这样。因此在教学过程中,务必注重学生的合作和交流活动,通过学生的合作和交流活动,促进知识的学习,并进一步发展学生合作交流的意识和能力。

  2、注重引导学生积极参与试验活动,在试验中体会频率的稳定性,形成对概率的全面理解,发展学生初步的辩证思维能力。

  试验频率稳定于理论概率应该是本章的教学重点,它是用试验的方法估计随机事件发生的概率的基础。但对于义务教育阶段的学生而言,又难以给其一个理论的解释,因而只能借助于大量重复试验去进行感悟。为此,在教学过程中务必引导学生积极参与试验。学生通过大量试验还会发现,试验频率并不一定等于理论概率。虽然多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率,但也可能无论做多少次试验,试验频率仍然是理论概率的一个近似值,而不能等同于理论概率,两者存在着一定的偏差。应该说,偏差的存在是正常的、经常的。例如,在理论上,“随意抛掷一枚硬币,落地后国徽朝上”发生的概率为 ,但试验100次,并不能保证恰好50次国徽朝上、50次国徽朝下。只要学生真正动手做试验,必能体会到这一点。事实上,做100次掷币试验恰好50次国徽朝上、50次国徽朝下的可能性仅为8%左右。因此学生对概率的理解应是多方面的,概率的试验估算、理论计算以及频率与概率的偏差等应是理解概率的一个不可割裂的整体。教学中,应尽量让学生通过具体试验领会这一点,从而形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解,初步形成随机观念,发展学生初步的辩证思维能力。

  此外,本章用试验的方法估算一些事件发生的概率时,应主要关注学生的试验过程,而不必对问题结论的精确度提出要求。事实上,要达到一定的精确度,需要较多的试验次数,有时课堂上难以完成。

  从数学的角度来说,统计与概率这两个学科互为基础,它们是一个密不可分的整体。概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的,而统计又离不开概率的理论支撑,统计推断、估计、假设检验等统计方法的合理性和科学性都有赖于概率理论的严密性。具体来说,本章中试验频率稳定于理论频率、用试验的方法估计随机事件发生的概率等活动本身就是一个统计活动,而“池塘里有多少条鱼”的估计方法的理论依据则是概率问题。为此,在教学中要注意揭示这两者之间的联系。

  在理解试验频率的稳定性和应用试验的方法估计概率的过程中,应该首先让学生通过具体的试验操作获得一定的活动经验,促进知识的建构;同时,在具体试验操作基础上,也可鼓励学生利用现代信息技术手段(计算器、计算机或其他媒体)进行模拟试验,通过更为大量的模拟试验进一步加深知识的意义理解或者获得更为准确的试验结果。例如,对于第1节的各个试验,可以先让学生进行具体的试验操作,并汇总结果获得规律,有条件的学校在学生猜想出规律性以后,还可以借助计算机进行模拟试验;当学生学习了利用计算器出现的随机数模拟试验后,又可要求学生利用计算器模拟第1节的有关问题。

  教科书已经注意了概率模型的递进性、现实性和趣味性,以激发学生的学习兴趣。但由于各地各校学生存在极大的差异性,因而在具体教学时,应充分挖掘与学生生活实际密切联系而又生动有趣的教学素材,在学生熟悉的问题情境中积极高效地进行知识的学习,同时使学生体会数学与现实的联系。

  1、注重对学生活动的评价,主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流的情况。

  本章知识的学习多是在具体活动中展开的,因而对学生活动的考查应成为教学评价的主要方面。这方面的评价主要以学生在从事活动时的表现为对象,对它们的评价可以从两个方面进行:一是学生在活动中的投入程度能否积极、主动地从事各项活动,向同伴解释自己的想法,听取别人的建议和意见;二是学生在活动中表现出来的思维水平、表述水平等。例如,在对频率稳定性的讨论活动中,教师应关注学生是否积极参与讨论,是否有自己的观点,能否将自己的观点清晰而有条理地表述出来等;在对调查试验数据的统计汇总过程中,教师应关注学生是否具有良好的合作意识和能力。

  对试验数据的评判,既与试验数据本身有关,也与评判主体(作出评判的人)有关。对于同一组数据,不同的人从不同的角度可以得到不同的评判结果,这就是所谓的“公说公有理,婆说婆有理”。因此,教学中应鼓励学生思维的多样性,只要学生的回答有一定道理,就应给予肯定和鼓励,避免评价的单一性。例如,在第4节中,学生分析小明、小亮两人的做法时,可能会出现多种说法,只要他们的回答有一定道理,就应给予肯定和鼓励。

  本部分内容中,对知识技能的评价包括:能否用试验的方法估计一些较复杂的随机事件发生的概率,能否借助列表或树状图计算简单事件发生的概率,能否运用计算器等模拟有关概率试验等。

  对这些知识技能的评价,应当更多地关注其在实际问题情境中的意义理解。如对于求随机事件发生的概率的几种方法,关键是体会它们在不同情境中的应用,只要学生能在具体情境中应用它们解决问题即可,而不必过于关注其运用的熟练程度。

  学生对概率的认识应是动态的、发展的,要注意评价学生对概率的理解水平。比如,如何理解“试验频率稳定于理论概率而又不等于理论概率”?对于这些问题的评价应主要关注学生对它的意义理解,可要求学生通过举例说明自己对问题的理解。对于概率计算的各种方法的比较与选择,也应通过具体问题情境让学生自我选择而不必进行记忆性考查。同时,要关注学生应用概率解决问题的能力水平,如是否参与某个概率的实践应用活动,能否对试验结果作出自己的评价等。

  只有实现评价方式的多样化,才能形成对学生个体较为全面的评价。本章内容的学习过程中贯穿着统计、试验、研讨等活动,这为评价方式的多样化提供了极好的机会。例如,可以要求学生撰写试验报告或小论文反映其对概率的理解等。

  1、本节首先通过一个学生活动,让学生再次经历收集数据、处理数据,在收集数据的过程中,要注意数据收集的科学性、合理性,客观性。在处理数据的过程中,让学生感受到频数与频率的关系,并初步了解到频率与概率的关系。由此可以看出,这个活动在本节课的位置十分重要,上课时不能省掉,也不要以演示代活动,最好让学生亲自动手,亲身感受,得出结论。

  2、频率与概率的关系,比较抽象,也许教师应该采取边解释边活动的方法学生更能理解,让学生理解当实验次数越大,频率越接近概率。可以尝试多举几个例子,并概括的简单算法。

  1、本节课开始的分析,最好是建立在上节课的活动基础之上,让学生在活动中感受并讨论、归纳、概括,从而形成初步的分析方法:树状图分析法。

  2、“树状图法”的形成应该要经历一个从感性到理性的过程,教师在讲解时不要急于求成,一定要给学生充分的体会时间,“树状图法”最好由学生自己得出,这样印象更深、理解更透。

  3、在运用“树状图法”的分析过程中,注意不要漏不要重复,要遵循一定的规律进行分析。

  1、本节开始,“想一想”以及例题均设计了活动,有条件的学校这些活动尽可能都要开展起来,从而使数学课生动活泼,也使学生能更加直观的感受、理解,特别是“想一想”中小颖和小明的两种设计,唯有通过活动才能说明,否则学生难以理解。

  2、利用列表代替树状图来分析,解决了树状图分析法许多情况下的不便,列表法并能直观、具体的展现各种情况,此种方法要求学生掌握。

  1、本节课的课题是“投针试验”,可是在实际操作中开展此实验不太方便,教师可以根据实际设计类似易操作的实验进行操作,但应注意,一定要开展实验,否则记住公式无任何价值,学生也难以理解。

  2、“投针实验”给我们揭示了在实际问题中,如何设计方案,开展实验,搜集数据,处理数据,从而计算概率,他对实验者提出了较高的要求,所以这节课的内容虽少,但要求较高,难度较大。

  1、本节一开始可以调查一组2人生日相同的概率,然后2组…全班呢?100人呢?200人呢?300人呢?400人呢?这样的顺序让学生反复亲自体会2人生日相同的概率以及人数范围,从而通俗易懂的揭示了解决此问题的规律。

  2、通过2人生日相同问题的讨论,拓展到其它事件2个人或2件事物出现机会相同的概率,从而达到掌握以特殊例子解决普遍问题的数学思想方法,这样才能算完成了本课的教学任务。

  1、经历实验使学生了解在12个号码中,抽6个号码其中2个号码相同的概率。

  1、本节课的开始学生难以理解,所以应让学生四人一组开展活动,并把全班的数据汇总后进行处理,把全班的结论和每个小组的结论进行对照,不难发现问题的结论,所以还是要强调学生的感受,结论应该是学生由感而发。

  2、由12个数值推广到任意数据,这里要求学生对前面的活动结论要理解并进行应用。

  1、本节开始的创设问题情境很重要。建议创设几个问题情境,激发学生的求知欲望。

  2、第一个摸球游戏要耐心的组织好,使学生通过活动能理解这样估计的合理性。对于小亮的设计和小明的设计让学生讨论比较,孰优孰劣,合理即可。

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